生成对抗网络GAN

图片名称

GAN属于生成模型,使用生成数据分布$P_{G}$去无限逼近数据的真实分布$P_{data}$。衡量两个数据分布的差异有多种度量,例如KL散度等,但是前提是得知道$P_{G}$。GAN利用discriminator巧妙地衡量了$P_{G},P_{data}$的差异性,利用discriminator和generator的不断竞争(minmax)得到了好的generator去生成数据分布$P_{G}$。

背景

很多时候,我们想输入一类数据,然后让机器学习这一类数据的模式,进而产生该类型新的数据。例如:

  • 输入唐诗三百首,输出机器写的唐诗
  • 输入一堆动漫人物的照片,输出机器生成的动漫人物照片

该问题的核心是原数据有其分布$P_{data}$,机器想要学习新的分布$P_{G}$去无限逼近$P_{data}$。

一个简单的解决办法是采用异常检测的模型,通过输入大量的正常数据,让机器学习正常数据的内在规律。例如:自编码器模型如下。通过训练数据学习到数据的内在模式code。学习到code后,随机输入新的code便可以产生数据。

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对于mnist数据,设code为2维,训练之后输入code得到的图片如下:
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但是这种情况下,机器学习到的只是这个数据大概长什么样,而不是数据的真实分布。例如下图的两个7,在人看来都是真的图片7,但是机器却不这么认为。
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结构

GAN由generator和discriminator两部分组成:

1
2
z -> G -> x' ->  D -> 01
x ->
  • generator:输入随机的$z$,输出生成的$x’$
  • discriminator:二分类器,输入生成的$x’$和真实的$x$,输出01(是否是真的数据)

GAN的训练,也包括generator和discriminator两部分:

  • discriminator的训练,设generator不变,通过调整discriminator的参数让discriminator尽可能区分开$x,x’$。
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  • generator的训练,设discriminator不变,通过调整generator的参数让discriminator尽可能区分不开$x,x’$。
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整体来看,generator和discriminator构成了一个网络结构,通过设置loss,保持某一个generator和discriminator参数不变,通过梯度下降更新另外一个的参数即可。

训练

最大似然估计

已知两个分布$P_{data}(x)$和$P_{G}(x;\theta)$,目标是找到$G$的$\theta$使两个分布尽量接近。

采用最大似然估计,有:

$$\begin{split}
\theta^* &= \arg \max_{\theta} \prod_{i=1}^m P_{G}(x^i;\theta) \\
&= \arg \max_{\theta} \sum_{i=1}^m \log P_{G}(x^i;\theta) \\
&\approx \arg \max_{\theta} E_{x \sim P_{data}(x)} [\log P_{G}(x;\theta) ] \\
&= \arg \max_{\theta} \int P_{data}(x) \log P_{G}(x;\theta) dx - \int P_{data}(x) \log P_{data}(x)dx \\
&= \arg \min_{\theta} KL(P_{data}(x) || P_{G}(x;\theta))
\end{split}$$

也就是说,最大似然$P_{G}(x;\theta)$的概率等价于:最小化基于$P_{G}(x;\theta)$的编码来编码$P_{data}(x)$所需的额外位元数。也就是最小化KL散度。

下面只需要计算出$P_{G}(x;\theta)$,一切问题似乎都解决了。事实确实这样,不过对于不同的$G$,$P_{G}(x;\theta)$计算的难易程度不同。如果$G$是高斯混合模型(GMM)那么很好计算,但是通常数据的分布不是GMM那么简单,需要更复杂的$G$。通常,$G$是神经网络。这样的话,$P_{G}(x;\theta)$的计算便很困难,如下:

$$P_{G}(x;\theta) = \int P_{prior} (z) I_{[G(z)=x]} dz$$

这样来看,传统的最大似然是走不通呢,有没有别的出路呢?

考虑最大似然法真正解决的问题。最大似然就是提供了某种手段,去衡量两个分布$P_{data}(x)$和$P_{G}(x;\theta)$的相近程度。此路不通另寻他路即可。因此便引出了下文的$V(G,D)$。

V(G,D)取代最大似然估计

$V(G,D)$是衡量两个分布$P_{data}(x)$和$P_{G}(x;\theta)$相近程度的一种手段,其不同于最大似然,是通过一个额外的discriminator识别的好坏做评估的。其核心是:discriminator判别数据是真的数据(1)还是采样的数据(0)。如果两个分布很接近,那么discriminator分辨不清,效果比较差;如果两个分布很远,那么discriminator分辨清,效果比较好。

$$V(G,D) = E_{x \sim P_{data}} [\log D(x)] + E_{x \sim P_{G}} [\log (1-D(x))] $$

整个训练策略,是先固定$G$选择$D^$去最大化$V(G,D)$ ;然后固定$D^$选择$G$去最大化$V(G,D^*)$。

$$G^* = \arg \min_{G} \max_{D} V(G,D)$$

D的训练

这部分解决的是:对于特定的G,如何训练得到更好的D。

$$D^* = \max_{D} V(G,D)$$

首先,对$V(G,D)$做进一步分解:

$$\begin{split}
V(G,D) &= E_{x \sim P_{data}} [\log D(x)] + E_{x \sim P_{G}} [\log (1-D(x))] \\
&= \int P_{data} \log D(x) dx + \int P_{G} \log (1-D(x)) dx \\
&= \int [P_{data}(x) \log D(x) + P_{G}(x) \log (1-D(x)) ]dx
\end{split}$$

所以有:

$$D^* = \arg \max_{D} P_{data}(x) \log D(x) + P_{G}(x) \log (1-D(x)) $$

对上述式子求导得到:

$$D^*(x) = \frac{P_{data}(x) }{P_{data}(x) + P_{G}(x)}$$

每个$D^(x)$对应的$V(G,D^)$实际上衡量了特定$G$下面两个分布$P_{data}(x)$和$P_{G}差距。
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将$D^(x)$代入$V(G,D^)$,有:
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所以:固定G优化D的过程,相当于计算两个分布的距离:

$$\max_{D} V(G,D) = -2\log 2 + 2JSD(P_{data}(x) || P_{G}(x) )$$

得到两个分布的距离之后,便转化成最小化两个分布的距离的问题,
也就是:

$$G^* = \arg \min_{G} \max_{D} V(G,D)$$

G的训练

固定G优化D得到$D^$便得到了两个分布的距离$V(G,D^)$,固定$D^*$优化G,采用梯度下降即可。

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算法

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问题

G的更新优化不一定朝着最小的方向

优化G之后,原来的D对应的就不一定是$\max V(G,D)$最大的$G$了,这样与我们的假设不同。
解决办法是:就像梯度更新的时候迈的步子不能太大;更新G的时候迈的步子也不要太大。

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通过抽样估计分布

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G中的目标函数

实际训练G的时候,目标函数需要做一些修改,修改的原因是:在刚开始训练的时候,$D$能够很好的区分真实数据与模拟数据,这样$P(G)$中$D(x)$的值比较小。如果采用原来的目标函数,比较小的$D(x)$对应目标函数的斜率比较低,不容易学习。通过改变目标函数,使比较小的$D(x)$对应目标函数的斜率比较高,加快了学习速率,使模型更容易学习。

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利用D去评估分布差异

理论上,可以用D去评估分布差异(G的好坏),D越好表明G越差,D越差表明G越好。但是实际中,这样评价的效果不好,不论G的好坏,D都比较好。

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可能的原因之一:D太强大了。直观的解决办法是让D变弱一些,但是这样得到的D可否真正的计算JS divergence是个问题。
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可能的原因之二:数据的本质是高维空间的manifold,很少有重叠。没有重叠的话,js距离永远都是最大值,不容易学习更新。
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通常的解决办法是:给D的输入增加人为的噪声,这样真实数据与人造数据就会有重叠,D不能很好地区分真实数据与人造数据。同时要注意噪声要随时间减少。
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mode collapse

mode collapse值的是GAN只学到了数据多个形态中的某一种。
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可能的原因是优化式使GAN趋向如此:

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其他GAN

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